在租賃鉤機（挖掘機）時，開票的具體方式主要取決于租賃業務的具體情況和納稅人的身份。以下是根據不同情形提供的開票指導：

一、一般納稅人出租鉤機并配備操作人員

業務性質：根據《財政部 國家稅務總局關于明確金融房地產開發教育輔助服務等增值稅政策的通知》（財稅〔2016〕140號）第十六條規定，納稅人將建筑施工設備出租給他人使用并配備操作人員的，按照“建筑服務”繳納增值稅。

發票開具：在此情形下，應開具“建筑服務-挖機租賃費”的發票，適用稅率為9%。同時，按規定備注相關信息，如項目名稱、地點等。

二、一般納稅人出租鉤機但不配備操作人員

業務性質：根據《財政部 國家稅務總局關于全面推開營業稅改征增值稅試點的通知》（財稅〔2016〕36號）規定，經營租賃服務是指在約定時間內將有形動產或者不動產轉讓他人使用且租賃物所有權不變更的業務活動。在此情形下，鉤機租賃屬于有形動產經營租賃服務。

發票開具：應開具“經營租賃-鉤機租賃費”的發票，適用稅率為13%。

三、小規模納稅人或個體戶出租鉤機

開票方式：對于小規模納稅人或個體戶，只要發生的是真實業務，就可以前往稅務局代開增值稅專用發票（如需），并預繳相應增值稅。

注意事項：確保業務真實性，避免虛開發票。虛開發票是違法犯罪行為，將受到法律制裁。

四、開票時的其他注意事項

準確填寫信息：在開具發票時，務必準確填寫發票抬頭、名稱、稅號等信息。對于增值稅專用發票，還需正確填寫購買方地址、電話、開戶行及賬號等信息。

合規性：確保開票行為符合稅法規定，遵循《中華人民共和國增值稅法》及其它有關法律法規。

備注信息：根據稅法規定，某些特定業務需要在發票上備注相關信息。在開具鉤機租賃發票時，如需備注，應按規定填寫。

綜上所述，租賃鉤機開票的具體方式取決于納稅人的身份和租賃業務的具體情況。在開具發票時，請務必遵守稅法規定，確保開票行為的合規性。如有任何疑問，建議咨詢當地稅務局或專業稅務人員。